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--- lager:mathe:integral:gem_integral_aufg [18.03.2016 15:17] – richard
+++ lager:mathe:integral:gem_integral_aufg [04.02.2025 12:10] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
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 ====== Integralrechnung - Aufgaben ======
+{{ :lager:mathe:integral:h2-integralrechnung-arbeitsauftrag-20-03-23.pdf |Arbeitsauftrag}}
 ===== Unbestimmtes Integral =====
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 **Gesucht ist:** Integral im Intervall $[a, b]$
-Flächen werden miteinander verrechnet $\int_a^b f(x) \cdot dx = F(b)- F(a)$(vgl. Gewinn-Verlust-Rechnung in einem Zeitabschnitt)
+Flächen werden miteinander verrechnet $\int\limits_a^b f(x) \cdot dx = F(b)- F(a)$(vgl. Gewinn-Verlust-Rechnung in einem Zeitabschnitt)
 ===== Bestimmung der Stammfunktion durch Punkt =====
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 **Gegeben ist eine Funktion:** $f(x)$
-**Gesucht ist:** $[A]_a^b = | \int_a^b f(x) \cdot dx |$
+**Gesucht ist:** $[A]_a^b = | \int\limits_a^b f(x) \cdot dx |$
   - Ermitteln der Nullstellen, um die Teilflächen zu ermitteln. Nullstellen: $x_{N1}, x_{N2}, ...$
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   - Gesamtes Integral entsprechend der unter 2. ermittelten Nullstellen in Teilflächen unterteilen.
   - Stammfunktion ermitteln.
-  - Integral über Stammfunktion (mit Beträgen) berechnen. $[A]_a^b = | \int_{a}^{b} {f(x) \cdot dx} |$ $=| \int_{a}^{x_{N2}} f(x) \cdot dx | + | \int_{x_{N2}}^{x_{N3}} f(x) \cdot dx |$ $+ | \int_{x_{N3}}^{b} f(x) \cdot dx |$ $=| F(x_{N2}) - F(a) | + | F(x_{N3}) - F(x_{N2}) | + | F(b) - F(x_{N3}) |$
+  - Integral über Stammfunktion (mit Beträgen) berechnen. $[A]_a^b = | \int\limits_{a}^{b} {f(x) \cdot dx} |$ $=| \int\limits_{a}^{x_{N2}} f(x) \cdot dx | + | \int\limits_{x_{N2}}^{x_{N3}} f(x) \cdot dx |$ $+ | \int\limits_{x_{N3}}^{b} f(x) \cdot dx |$ $=| F(x_{N2}) - F(a) | + | F(x_{N3}) - F(x_{N2}) | + | F(b) - F(x_{N3}) |$
 ===== Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen =====
-**Gegeben ist eine Funktion:** $f(x)$
+**Gegeben sind zwei Funktionen:** $f(x)$ und $g(x)$
 **Gesucht ist:** $[A]_a^b$
-  - Differenzfunktion $h(x)$ bilden.
+  - Differenzfunktion $h(x)=f(x) - g(x)$ bilden.
-  - Nullstellen der Differenzfunktion $h(x)$ ermitteln (diese entsprechen den Schnittstellen von $f(x)$ und $g(x)$).
+  - Nullstellen der Differenzfunktion $h(x_N)=0$ ermitteln (diese entsprechen den Schnittstellen von $f(x)$ und $g(x)$).
-  - Fläche, die von der Differenzfunktion $h(x)$ eingeschlossen wird (von Nullstelle zu Nullstelle), berechnen.
+  - Fläche, die von der Differenzfunktion $h(x)$ eingeschlossen wird (von Nullstelle zu Nullstelle), berechnen. Falls vorgegeben müssen hier noch zusätzliche Intervallgrenzen berücksichtigt werden.  $[A]_a^b = | \int\limits_{a}^{b} {h(x) \cdot dx} |$ $=| \int\limits_{a}^{x_{N2}} h(x) \cdot dx | + | \int\limits_{x_{N2}}^{x_{N3}} h(x) \cdot dx |$ $+ | \int\limits_{x_{N3}}^{b} h(x) \cdot dx |$ $=| H(x_{N2}) - H(a) | + | H(x_{N3}) - H(x_{N2}) | + | H(b) - H(x_{N3}) |$
 (**HINWEIS:** Häufig wird bei Schnittflächen noch eine Skizze verlangt, nachdem die notwendigen Punkte ermittelt wurden. Bei diesen beiden Funktionen ist dies nicht möglich, da die Nullstellen von $f(x)$ und $g(x)$ nicht ganzzahlig sind.)
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 **Gegeben ist eine Funktion:** $f(x)$, $a$ und $A$
-**Gesucht ist:** $b$ bei $\int_a^b f(x) \cdot dx$
+**Gesucht ist:** $b$ bei $\int\limits_a^b f(x) \cdot dx$
 Bestimmen Sie die Grenze $b$ so, dass die von der Funktion eingeschlossene Fläche $A$ einem gegebenen Flächenwert entspricht!
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   - Bei mehreren Lösungen für $b$ (z.B. bei $b^2 = A - a^2$) muss noch eine Plausibilitätsprüfung durchgeführt werden, welcher der Zahlenwerte die gesuchte Lösung darstellt.
-<HTML>
-<!--   ##############-->
-</HTML>
 ====== Aufgabensammlung ======
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 Bestimmen Sie das bestimmte Integral zwischen -1 und 3 der folgenden Funktionen sofern keine anderen Grenzen angegeben wurden:
-^a) $f_1(x)=-0.5 x^3 + 2 x^2 -4$      ^b) $f_2(x)=-x^3 +3x^2-2$                              ^
+^a) $f_1(x)=-0.5 x^3 + 2 x^2 -4$             ^b) $f_2(x)=-x^3 +3x^2-2$                                     ^
-|c) $\int_{-1}^{2}(x^2-3x) \cdot dx$  |d) $\int_{-2}^{4}(- \frac{1}{4} x^3- 2x^2) \cdot dx$  |
+|c) $\int\limits_{-1}^{2}(x^2-3x) \cdot dx$  |d) $\int\limits_{-2}^{4}(- \frac{1}{4} x^3- 2x^2) \cdot dx$  |
+Lösung Aufgabe b): {{ :lager:mathe:integral:bestimmtes-integral-b-loesung-flaeche.ggb.zip |}}
 ===== Stammfunktion durch einen Punkt =====
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   - Bestimmen Sie die Fläche $A$, die von der x-Achse und dem Graphen der Funktion $f(x)=\frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2} x -1$ eingeschlossen wird.
   - Bestimmen Sie die Fläche $A$ im Intervall $[-2,2]$, die von der x-Achse, dem Funktionsgraphen von $f(x)=\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^2$ eingeschlossen wird.
+Lösung:
+{{ :lager:mathe:integral:integral_loesunga1a2.zip |}}
 ===== Schnittfläche =====
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 Bestimmen Sie die Schnittpunkte der folgenden Funktionen und ermitteln Sie die durch die Graphen der beiden Funktionen $f(x)= -x^3 +3$ und $g(x)= -4x^3 + 4x +2$ begrenzte Fläche $A$.
+===== Integralrechnung - Berechnung einer unbekannten Grenze =====
+Bestimmen Sie die Integrationsgrenze $b$ für die folgenden Integrale.
+$\int\limits_{0}^{b}(-2x+1) \cdot dx = -6$
+$\int\limits_{-1}^{b}(3x^2-1) \cdot dx = 4$
+$\int\limits_{1}^{b}(4x^3-6x) \cdot dx = 6$
+$\int\limits_{b-1}^{b}2x \cdot dx = 5$
+$\int\limits_{b}^{b+1}(3x^2-1) \cdot dx = 18$
+$\int\limits_{-b}^{b}(x^2 -2x +1)\cdot dx = \frac{8}{3}$
+$\int\limits_{b}^{b+2}(x^3 + x)\cdot dx = 24$
 ====== Lösungen (nicht sortiert) ======