Es soll ein rechteckiger Sandkasten gebaut werden. Der Sandkasten soll flächenmäßig so groß wie möglich werden. Zur Verfügung stehen zwei 8 m lange Bretter. Wie lang müssen die Kanten gewählt werden, damit die Grundfläche des Sandkastens maximal wird?

Welche Größe soll hier „optimiert“ werden? Die Fläche! Demnach ergibt sich die Hauptbedingung zu: $A=x \cdot y $

Welche weiteren Informationen enthält die Aufgabenstellung, um Unbekannte zu eliminieren? Es stehen zwei Bretter je 8 m zur Verfügung. Der Umfang beträgt demnach 16 m!

$\Rightarrow$ Nebenbedingung: $2~x+2~y=16$ $\Rightarrow$ $x+y=8$ $\Rightarrow$ $y=8-x$

Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung führt zu:

$A(x)=x \cdot (8-x)=8x-x^2$

Notwendige Bedingung: $A'(x)=0$

$A'(x)=8-2x=0 \Rightarrow x=4$

Hinreichende Bedingung: $A''(x)\neq0$

$A''(4)=-2 <0 \Rightarrow$ Es handelt sich um ein Maximum $\checkmark$

Durch einsetzen von $x$ in die Nebenbedingung kann nun noch $y$ bestimmt werden:

$y=8-x=8-4=4 $

Antwort: Die größte Fläche resultiert wenn als Grundfläche ein Quadrat mit den Kantenlängen $x=y=4$ gewählt wird.

Es soll Suppe mit dem Volumen V = 800 ml in einer Dose verpackt werden. Dabei soll der Blechverbrauch minimal werden. Bestimmen Sie das optimale Verhältnis zwischen Höhe $h$ und Radius $r$ der Dose.

Welche Größe soll hier „optimiert“ werden? Die Oberfläche! Demnach ergibt sich die Hauptbedingung zu: $A=2 \cdot \pi ~ r^2+2 \pi~r \cdot h$

Welche weiteren Informationen enthält die Aufgabenstellung, um Unbekannte zu eliminieren? Das Volumen der Dose soll 800 ml betragen!

$\Rightarrow$ Nebenbedingung: $V=0,8~l=0,8~dm^3=\pi~ r^2 \cdot h$

$\Rightarrow$ $h=\frac{0,8~dm^3}{\pi ~r^2}$

Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung führt zu:

$A=2 \cdot \pi ~ r^2+2 \pi~r \cdot \frac{0,8~dm^3}{\pi ~r^2} = 2 \cdot \pi ~ r^2+ \frac{1,6~dm^3}{r} = 2 \cdot \pi ~ r^2+ 1,6~dm^3 \cdot r^{-1}$

Notwendige Bedingung: $A'(r)=0$

$A'(r)=4 ~ \pi ~ r-\frac{1,6}{r^2}=0 \Rightarrow 4 ~ \pi \ r = \frac{1,6}{r^2} \Rightarrow r^3=\frac{1,6}{4~\pi} \Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{1,6}{4~ \pi}} \approx 0,5~dm $

Hinreichende Bedingung: $A''(r)\neq0$

$A'(r)=4 ~ \pi ~ r-1,6 \cdot r^{-2} \Rightarrow A''(r)=4 ~ \pi +2 \cdot 1,6 \cdot r^{-3} =4 ~ \pi +2 \frac{1,6}{r^3}$

$\Rightarrow A''(0,5)=4 ~ \pi +2 \frac{1,6}{0,5^3} \approx 38,2 >0 \Rightarrow$ Es handelt sich um ein Minimum $\checkmark$

Durch einsetzen von $r$ in die Nebenbedingung kann nun noch $h$ bestimmt werden:

$h(r)=\frac{0,8}{\pi ~r^2} \Rightarrow h(0,5)=\frac{0,8}{\pi ~0,5^2} \approx 1,02~dm $

Antwort: Bei einem Radius von $r=0,5~dm=5~cm$ und einer Höhe von $h=1,02~dm=10,2~cm$ resultiert für eine Dose mit einem Volumen von 800 ml der minimale Materialverbrauch.

Die Gewinnes eins Unternehmens sollen optimiert werden. Bei einer entsprechenden Analyse konnten die Kosten K als Funktion

Das Unternehmen stellt große Mengen her, daher stellt x die Menge in 10.000 Stück dar und die Kosten K sind in 10.000 € dargestellt.

Der Erlös ¹⁾ kann in Abhängigkeit der verkauften Waren x als Erlösfunktion E(x) dargestellt werden:

a) Wie viel Stück Ware sollten produziert werden, damit der Gewinn maximal wird?

b) Wie groß ist der Maximalgewinn?

c) Wie groß ist der Erlös pro Stück beim Maximalgewinn?

Lösungsskizze:
a)

• Gewinn $G(x) = E(x) - K(x)$
  (Gewinn= Erlös - Kosten)
• $G'(x)$ und $G''(x)$ bestimmen
• Maximum mittels $G'(x_E)=0$ berechnen
• Mit $G''(x)$ überprüfen
• $Menge_{max}=x_E \cdot 10.000 St$
  gemeint ist die Menge (Stück) an Waren

b)

• $Maximalgewinn= G(x_E) \cdot 10.000 €$
  (10.000€ s. Normierung für K(x)

c)

• Gesamterlös$ = E(x_E) \cdot 10.000 €$
  für die gesamte Menge in €
• Stückerlös$ = \frac{Gesamterlös }{x_E \cdot 10.000}$
  Erlös für jedes einzelne Stück

Die folgenden Aufgaben sind nach Themen sortiert und können im Buch „Mathematik Technik Fachhochschulreife“ Cornelsen Verlag 1. Auflage, 1. Druck 2014 gefunden werden.

Korrektur Skizze: S.192 A5 (Kiosk)

Für „Mathematik Technik Fachhochschulreife“ Cornelsen Verlag 1. Auflage, 2. Druck 2015 gilt:

Weitere Aufgaben Pfeffer 7. Auflage S. 226!